Question

高二数学不等式的证明题

求证（1）a²+b²+5≥2（2a-b） （2）a²+b²+c²≥ab+bc+ac
是用做差比较法来证明吗？到底应该怎么做呢，拜托写下步骤吧，我对这种平方类的题很不擅长啊......

Answer 1

a²+b²+5-2（2a-b）
=a²-4a+4+b²+2b+1
=（a-2）²+（b+1）²
≥0
∴a²+b²+5≥2（2a-b）

2）2[a²+b²+c²-（ab+bc+ac）]
=a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+a²+c²-2ac
=(a-b)²+（b-c）²+（a-c）²≥0

所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac

Answer 2

1.直接配方
原不等式等价于(a-2)^2+(b+1)^2≥0
而这是显然成立的.
2.两边乘2配方
等价于(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0
这是显然成立的

Answer 3

1. 是用做差比较法，把右边项都移到左边，想办法证明不等式左边之和大于等于零，把它们配成（a-2）^2和（b+1）^2两个完全平方项即可。
2.也是做差比较，把它们配成3个完全平方项即可，这里有个小技巧，把不等式左右两边同乘以2。

这种平方类的题宗旨就是尽量配成完全平方项，利用它恒大于等于0的性质来证明。

Answer 4

(1)a²+b²+5≥2（2a-b）
a^2+b^2+5-2(2a-b)
=a^2-4a+4+b^2+2b+1
=(a-2)^2+(b+1)^2>=0
a^2+b^2+5>=2(2a-b)
(2)a²+b²+c²≥ab+bc+ac
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)/2
=(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2)/2
=((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)/2>=0
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac

Answer 5

（1）a²+b²+5≥2（2a-b）
a²+b²+5-[2（2a-b）]=a²+b²+5-4a+2b=(a²-4a+4)+(b²+2b+1)=(a-2)²+(b+1)²≥0，所以，a²+b²+5≥2（2a-b）

（2）a²+b²+c²≥ab+bc+ac
（a²+b²+c²）-（ab+bc+ac）=1/2[2（a²+b²+c²）-2（ab+bc+ac）]=1/2[(a²+2ab+b²)+（b²+c²+2bc）+2(a²+c²+2ac）]=(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²≥0，所以，a²+b²+c²≥ab+bc+ac

Answer 6

1.(a-2)²+(b+1)²=a²-4a+4+b²+2b+1≥0移项，合并同类项
即a²+b²+5≥2（2a-b）
2.（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca≥0移项，消去2
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac