Question

如何证明拉格朗日中值定理

Answer 1

辅助函数法证明：

已知f(x) 在[a,b]上连续，在开区间，(a,b)内可导，构造辅助函数。

可得g(a)=g(b)又因为g(x)

在[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导，

所以根据罗尔定理可得必有一点

 使得

由此可得

变形得

定理证毕。

扩展资料：

拉格朗日中值定理有一个变形，即所谓的有限增量公式：f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0+θΔx)Δx，如果函数f(x)在（a,b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。

令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)   上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。