Question

三角形ABC中,已知tanB=[cos(B-C)]/[sinA-sin(B-C)] (1)判断三角形ABC的形状 (2)求证:1

Answer 1

(1)∵sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C) ∴sinA-sin(B-C)=sinBcosC+sinCcosB-sinBcosC+sinCcosB =2sinCcosB ∴tanB×[sinA-sin(B-C)]=sinB/cosB×2sinCcosB=2sinBsinC ∵cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC 由题：tanB=[cos(B-C)]/[sinA-sin(B-C)] ∴2sinBsinC=cosBcosC+sinBsinC ∴cosBcosC-sinBsinC=0 ∴cos(B+C)=0 ∴B+C=π/2 ∴A=π/2 ∴△ABC是直角三角形 (2)∵a,b,c构成三角形 ∴b+c＞a（三角形两边之和大于第三边） ∴(b+c)/a＞1 ∵A=π/2 ∴b+c=a=(b+c)-2bc≥2bc 当且仅当,b=c时等号成立 此时,a=√2b=√2c ∴(b+c)/a≤√2 ∴1＜(b+c)/a≤√2