Question

已知√2，怎样求根号2的近似值呢？

Answer 1

一
(√2+1)(√2-1)=2-1=1 √2-1=1/(√2+1)
√2 = 1+1/(√2+1)= 1+1/(2+√2-1)= 1＋1/[2+1/(√2+1)]=1＋1/[2+1/(2+√2-1)]=1＋1/{2+1/[2+1/(√2+1)}
后面就是循环问题了，越往下换算就越精确，计算的时候，把最后分母的√2+1换成2，而且2的个数要为偶数。这样结果比真实值小，但已经很靠近真实值了

二
假设被开方数为a，那么[√x-√(a/x)]^2=0的根就是√a
展开得x-2√a+a/x=0 x^2-2x√a+a=0 x^2+a=2x√a
变形得 √a=(x+a/x)/2
所以只需设置一个约等于(x+a/x)/2的初始值，代入上面公式，可以得到一个更加近似的值，再将它代入，就得到一个更加精确的值……依此方法，最后得到一个足够精度的(x+a/x)/2的值。
用逐次逼近的方法求根号2的近似值
(1)X1=1 (2)X2=1/2(X1+2/X1) (3)X3=1/2(X2+2/X2) (4)X4=1/2(X3+2/X3)
X1=1 X2=1/2(1+2)=3/2=1.5 X3=17/12=1.41666... X4=577/408=1.41421568627451
√2≈1.41421356237309，前六位相同，越往下换算就越精确

三
试算法,即先设定一个值,再计算其与所求值的误差,并进行调整后,进入下一轮试算,直到最后算出的误差满足小数点后几位的精度为止.
我们知道面积是2的正方形的边长是√2,设√2=1+x,有1+2x﹢x^2=2,但x是较小的数略去x^2,得1+2x≈2,解得x≈0.5,即√2≈1.5.
再设√2=1.5+y,同样道理,有1.5^2+2×1.5y≈2,解得y≈-0.0833,即√2≈1.4167
再设√2=1.4167+z,同样道理,有1.4167^2+2×1.4167y≈2,解得z≈-0.0024842,即√2=1.4167+z≈1.4167-0.0024842=1.4142158
按所述的方法代入即设1.4142158^2+2×1.4142158a≈2,解得a=-0.000002238,即√2=1.4142158-0.000002238=1.414213562.

四
笔算开平方法的计算步骤如下：
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。
如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．
笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．