高中数学证明垂直的方法
高中数学证明垂直的方法如下：
证明线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面垂直、面面平行是高中立体几何经常遇到的问题，它们之间相互联系，相互转化，同时还需要我们进行适当的运算，才能达到目的。我们通过融合前后所学知识点，通过各种方法来完成证明任务，以此达到触类旁通，内化为自己所能.下面介绍一道用多种方法来证明线线垂直的问题，希望能够打通各种证题思路，夯实学习基本功，为您带来一点启示与帮助。
一、问题呈现：
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M为PG的中点。
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求AC与PD所成角的余弦值。
下面着重探究第（1）小问的各种证法，第（2）小问解答从略。
证法一:坐标法。
如图1，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，不妨设PA=AD=AB=2BC=4，则A（0,0,0）,B（4,0,0）,C（4,2,0）,D（0,4,0），P（0,0,4），M（2，1，2）。
评析：此法采取“坐标法”来计算向量PB和向量DM的数量积为零来证明PB⊥DM.建立恰当的空间直角坐标系，把相关点的坐标一一表示出来，这里注意到已知线段之间的倍数关系，设较长线段长度为常数4便于用整数来表示所有向量坐标，从而可简化计算.此法要求对相关点必须准确表示，应用好数形结合思想。
证法二:应用一条直线平行于另一条直线所在平面的法向量。
如图2，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，不妨设PA=AD=AB=2BC=4，连接AM，则A（0,0,0），B（4,0,0），C（4,2,0），D（0,4,0），P（0,0,4），M（2，1，2）。
评析：我们不难发现AD⊥平面PAB，得到PB⊥AD，又要证此法PB⊥DM，由此可以推断PB⊥平面ADM.于是问题可转化为证PB与平面ADM的法向量是平行向量。
证法三:基向量法。
接上图：
接上图：
评析：此法采取“基向量法”来证明PM⊥DM。先以向量AB、向量AD、向量AD为一组基底向量，且设题设中较长线段的长度为2，然后通过向量运算即可证明。此法多次利用垂直向量的数量积为零的等价性，证明过程直截了当，只需耐心运算就能完成目标。
