Question

求解微分方程的龙格库塔数值法

Answer 1

用Matlab四阶龙格库塔法求常微分方程可以按照以下方法去实现。

1、首先建立自定义微分方程函数

function f = ode_fun(x,y)

f=y+2*x/y^2;

end

2、然后用四阶龙格库塔法求其数值解

figure(2)

y0=[1]; %初值y（0）=1

h=0.1;

a=0;

b=5;

[x,y] = runge_kutta(@(x,y)ode_fun(x,y),y0,h,a,b);

disp('        x        y')

A=[x',y']

plot(x,y,'LineWidth',1.5),grid on

xlabel('x'),ylabel('y(x)');

对于微分方程

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。

令 初值问题 表述如下。

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

其中

这样，下一个值（ y n +1 ）由现在的值（ y n ）加上时间间隔（ h ）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是 h 阶 ，而总积累误差为 h 阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（ y 可以是向量）都适用。

显式龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出。