Question

三阶矩阵有三个不同的特征值，这句话对吗？

Answer 1

三阶矩阵有三个不同的特征值说明这个矩阵有两个相同的特征值，且矩阵不能对角化，即不存在可逆矩阵p，使p^-1ap为对角矩阵。

证明：由已知，Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，Aα3=λ3α3

所以Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3

A^2β=A（Aβ）=λ1Aα1+λ2Aα2+λ3Aα3=λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3

所以（β，Aβ，A^2β）

=（α1+α2+α3，λ1α1+λ2α2+λ3α3，λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3）

=（α1，α2，α3）K

广义特征值

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν，其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

Answer 2

不对，他可以有相同的特征值，也可能只有一个特征值