求数列{(3n+1)2^n}的前n项和
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∑(3n+1)·2^n=∑3n·2^n+∑2^n
=2^(n+1)-2+∑3n·2^n
=2^(n+1)-2+3·∑n·2^n
设f(n)=∑n·2^n
则f(n)-2f(n-1)=2^n+2^(n-1)+……+2^2+2=2^(n+1)-2
即[f(n)-2]-2[f(n-1)-2]=2^(n+1)
即[f(n)-2]/2^n-[f(n-1)-2]/2^(n-1)=2
设g(n)=[f(n)-2]/2^n,则g(n)-g(n-1)=2
则g(n)=g(1)+2(n-1)=2(n-1)
则f(n)=(n-1)·2^(n+1)+2
则∑(3n+1)·2^n=2^(n+1)-2+3[(n-1)·2^(n+1)+2]
=(3n-2)·2^(n+1)+4
上式即为所求
=2^(n+1)-2+∑3n·2^n
=2^(n+1)-2+3·∑n·2^n
设f(n)=∑n·2^n
则f(n)-2f(n-1)=2^n+2^(n-1)+……+2^2+2=2^(n+1)-2
即[f(n)-2]-2[f(n-1)-2]=2^(n+1)
即[f(n)-2]/2^n-[f(n-1)-2]/2^(n-1)=2
设g(n)=[f(n)-2]/2^n,则g(n)-g(n-1)=2
则g(n)=g(1)+2(n-1)=2(n-1)
则f(n)=(n-1)·2^(n+1)+2
则∑(3n+1)·2^n=2^(n+1)-2+3[(n-1)·2^(n+1)+2]
=(3n-2)·2^(n+1)+4
上式即为所求
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