Question

设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W=｛α∈V/(α,γ)=0｝的维数等于n-1

Answer 1

假设ε1,……εn-1,γ是V的一组基,由于ε1,……εn-1皆与γ线性无关,所以ε1,……εn-1都是W中的元素,即W中至少包含n-1个线性无关的非零向量,W的维数≥n-1.
再假设W中存在与ε1,……εn-1皆线性无关的非零向量β,则ε1,……εn-1与β就构成了V的一组基,所以γ就可由它们线性表出,即γ=k1ε1+…………+kn-1εn-1+knβ.由于k1,………kn不全为零,所以它们中必存在一个非零元ki,则(εi(或β),γ)=(εi,k1ε1+………+kn-1εn-1+knβ)=k1(εi,ε1)+………+kn-1(εi,εn-1)+kn(εi,β)=ki(εi,εi),由于ki不为零,εi为非零向量,所以ki(εi,εi),即(εi,γ)不为零,但εi与γ线性无关,因此得出矛盾,所以W中不存在与ε1,……εn-1都线性无关的非零向量,即ε1,……εn-1是W的一组基,W的维数等于n-1.