Question

.已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点

已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

我发不了图！谢谢大家了！

Answer 1

1.当P不是AD中点是时，存在。
假设P在中点左边，Q在右边。设AP=x，AQ=y,x≠y,x<3,y<3, PD=3-x,QD=3-y.
∵∠BPC=90°，∠D=90°
∴∠APE=∠PCD
同理∠AQE=∠QCD
∴tg∠APE=tg∠PCD, tg∠AQE=tg∠QCD
∴AE/x=(3-x)/2 , AE/y=(3-y)/2
∴x/y=(3-y)/(3-x),
∴y(3-y)x(3-x)
∴x^2-y^2-3(x-y)=(x-y)(x+y)-3(x-y)=0
∵x≠y ∴x+y=3.
当P在中点时，x=y=3/2,两点重合了，所以不存在。
2.AE/x=(3-x)/2,
∴AE=x(3-x)/2≤{[x+(3-x)]^2/4}/2=9/8,当x=3/2即P是中点时取到AE=9/8.
(基本不等式)
∴BE=2-AE ≥7/8，
又∵BE<2
∴7/8≤BE<2