22.求极限 lim(e^x-e^-x)/ln(1+sinx)
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设函数 $f(x)=e^x-e^{-x}$ 和 $g(x)=\ln(1+\sin x)$，要求 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}$。
将 $f(x)$ 展开，得：
$$ f(x)=e^x-e^{-x}=2\sinh x $$
将 $g(x)$ 展开，得：
$$ g(x)=\ln(1+\sin x)=\sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x+\cdots $$
因此，
$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sinh x}{\sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x+\cdots}=\boxed{2} $$
注意，在求极限时，要将函数展开，然后再进行计算。
将 $f(x)$ 展开，得：
$$ f(x)=e^x-e^{-x}=2\sinh x $$
将 $g(x)$ 展开，得：
$$ g(x)=\ln(1+\sin x)=\sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x+\cdots $$
因此，
$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sinh x}{\sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x+\cdots}=\boxed{2} $$
注意，在求极限时，要将函数展开，然后再进行计算。
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