Question

在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于E，交BC的延长线于G。 ⑴求证：△ADE≌△CDE.; ⑵过点C作CH⊥C

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⑵过点C作CH⊥CE,交FG于点H，求证：FH=GH.
⑶设AD=1，DF=x，是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

如图：△ADE和△CDE共用ED边，又ABCD是正方形，所以AD=DC，又BD是正方形ABCD对角线，所以角ADE=角CDE，所以：△ADE≌△CDE

由第一问中△ADE≌△CDE得角DAE=角DCE，又AD‖BG，所以角DAE=角CGF=角DCE;又CH⊥EC，所以角DCE+角FCH=90°=角HCG+角FCH，推得角HCG=角DCE=角CGF，由角HCG=角CGF可知CH是直角△FCG的中线（这个结论如果当前学的不可直接用就自己再证明下，应该很简单）

所以CH是直角△FCG的中线可得H是FG中点，故有FH=GH 

假设△ECG为等腰三角形，那么有角CGF=角CEG，第二问中已证明角CGF=角DCE，那么在△ECG中有，角CGF+角DCE+角FCG+角CEG=180°=3x角CGF+90°=180°，所以角CGF=角DCE=角CEG=角FAD=30°,所以如果AD=1，那么DF=TAN30°*AD=3分之根号3

Answer 2

（1）证明：∵四边形是ABCD正方形，BD是对角线，
∴AD=CD，∠1=∠2，∠DCB=∠DCG=90°，
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE；

（2）∵△ADE≌△CDE，
∴∠3=∠4，
∵CH⊥CE于C，
∴∠4+∠5=90°，
∵∠DCG=∠5+∠6=90°，
∴∠4=∠6，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠G，
∴∠6=∠G，
∴HC=HG，
∵∠7+∠G=90°，∠5+∠6=90°，
∴∠5=∠7，
∴HF=HC，
∴HF=HG；

（3）△ECG是等腰三角形．理由如下：
∵∠ADF=90°，AD：DF=根号3
，

∴∠AFD=60°，
∴∠3=∠G=∠4=30°，∠AFD=∠7=60°，
∴∠CEG=∠7-∠4=∠G=30°，
∴CE=CG．　
即△ECG是等腰三角形．

Answer 3