Question

直接用拉格朗日中值定理的点怎么写

Answer 1

证明：若x>0, 则

(1)√(x+1)-√x=1/(2√(x+θ(x)))，其中1/4<θ(x)<1/2；

(2)lim(x→0^+ )θ(x)=1/4，(lim)(x→+∞)θ(x)=1/2.

分析：高数问题构造辅助函数是最常用的方法之一。这道题构造的辅助函数相当简单，就构造f(x)=√x，并求它的导数，得到f'(x)=/(√).

当x大于0时，函数在任意闭区间[x,x+1]上，都是符合拉格朗日中值定理的。

因此，√(+)−√=/(√(+())), 0<θ(x)<1.

也就是两个函数的函数差比自变量差，会等于对应开区间上的一个点的导数值，这里自变量差刚好等于1。而这个点可以用x+θ(x)来表示。根据拉格朗日中值定理，这里的θ是在(0,1)上的。到这里肯定有不少人就会犯迷糊了。式子倒是证明出来了，但条件不对啊。题目中θ(x)的值域明明是在(1/4,1/2)上的啊。那应该怎么办呢？

其实很简单，而且直接，就是证明1/4<θ(x)<1/2，就可以了嘛。

由上式得到另一个等式：√(+())=√(+)+√，就是两边都取倒数，原式左边分子分母同乘以√(+)+√，进行分母有理化，就变成这个式子右边的形式了。

再两边同时平方，移项，化简，可以得到θ(x)的一个表达式：θ(x)=1/4+(√(x(x+1))-x)/2。

所以拉格朗日中值定理中的θ，在可变区间上，其实是一个函数，而不是一个常数。这个函数在区间大小一定时，会随着区间左端点的变化而变化。也可以随着右端点的变化而变化。从这个函数的解析式就可以发现，θ(x)的值域大于1/4了。

将θ(x)的解析式中的分式，分子分母同乘以√((+) )+，化为：θ(x)=/+/((√((+) )+)).

可以发现，后面的分式一定小于四分之一，所以θ(x)小于二分之一。关于上下界的确定，请自行理解，很容易的。

这就证明了1/4<θ(x)<1/2，从而得证。

Answer 2

把首尾f(b)-f(a)/(b-a)算出来，
然后对f（x）求导，找到在a，b区间上和f(b)-f(a)/(b-a)的值即可
定理表述
如果函数
满足：
（1）在闭区间
上连续；
（2）在开区间
内可导；
那么在开区间
内至少有一点
使等式
成立。
其他形式
设
是闭区间
内一点
为区间内的另一点
，则定理在
或在区间
可表示为
此式称为有限增量公式。
数学推导
编辑
辅助函数法：
已知
在
上连续，在开区间
内可导，
构造辅助函数
代入
，
，可得
又因为
在
上连续，在开区间
内可导，
所以根据罗尔定理可得必有一点
使得
由此可得
变形得
定理证毕。
定理推广
编辑
推论
如果函数
在区间
上的导数
恒为零，那么函数在区间
上是一个常数。
证明：
在区间
上任取两点
由拉格朗日中值定理得
由于已知
即
因为
是区间
上的任意两点所以
在区间
上的函数值总是相等的，
即函数在区间内是一个常数。
推广
如果函数
在开区间
内可导且
与
都存在
令
，
则在开区间
内至少存在一点
使得

Answer 3

直接用拉格朗日中值定理的点，可以通过公式写成（f（x1）-f（x2））/（x1-x2），这就是拉格朗日的种植点