Question

怎么求反三角函数∫cscxdx的值域？

Answer 1

怎么求反三角函数∫cscxdx的值域？
由于cscx函数具有不可导区间，因此在求解反三角函数∫cscxdx时，将其分为两部分：∫cscxdx = ∫cscxdx ∫-cscxdx。那么，这两个积分的值域分别为：[-π/2,π/2]和[-π/2,0]。

Answer 2

∫cscxdx
=∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)
=∫1/ [cos^2(x/2) * tan(x/2) ]d(x/2)
=∫sec^2(x/2)/tan(x/2) d(x/2)
=∫1/tan(x/2) d(tan(x/2))
=ln|tan(x/2)|+C
又 tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=2sin^2(x/2)/sinx=[1-(1-2sin^2(x/2))]/sinx=(1-cosx)/sinx=cscx-cotx
所以 ∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C