Question

请问函数ln(1+1/x)的泰勒展开式怎么算，求详细过程

Answer 1

令t=1/x将ln(1+t)在t=0处展开，有幂级数ln(1+t)=t-t²/2+t³/3+…+(-1)ⁿ⁺¹tⁿ/n+…=∑{n=1，∞}(-1)ⁿ⁺¹tⁿ/n。t=0时x=+∞，将t=1/x代入，得到ln(1+1/x)=∑{n=1，∞}(-1)ⁿ⁺¹(1/xⁿ/n，这就是泰勒展开式在x=+∞处展开为幂级数的形式。还可以写出含有佩亚诺余项的麦克劳林公式展开，ln(1+1/x)=1/x-1/(2x²)+1/(3x³)+o(1/x³)。
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