Question

在△ABC中,AB=2根号5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长，

Answer 1

解：∵AC=4，BC=2，AB=2√ 5 ，∴AC^2+BC^2=AB^2，
∴△ACB为直角三角形，
∠ACB=90°．
分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，
易求CD=2√ 10 ；
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
易证△ACB≌△DEA，
易求CD=2 √13 ；
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，
∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，
易求CD=3 √2 ．

Answer 2

解：∵AC=4，BC=2，AB=2 5 ，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，
易求CD=2 10 ；
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，
易求CD=2 13 ；
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3 2 ．
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