Question

怎样化简带根号的实数？

Answer 1

我们学习了开平方、开立方后，出现了一类带根号的实数。这类实数的化间十分重要。下面言谈怎样进行这类实数的化简运算。

一， 化简带根号的实数的主要依据

1，(√a)=a(a≥0), ( 场蘟)=a.

2,√a=∣a∣ 场蘟=a.

3,√ab=√a√b(a≥0,b≥0)

4,√a/b=√a/√b(a≥0,b>0)

上述公式可从左到右，也可从右到左运用于化简，另外还要用到整式乘法法则，乘法公式等。

二， 化简带根号的实数的结果的要求：

1，根号内不能含有能开方的因数（因式）

2， 根号内（被开方数）不含分母

3， 分母上不带根号。

三， 应用举例

1， 关于根号内因数的化简

例1， 化简√48

解：√48=√4*4*3=√16*3=4√3。

注意：根号内的数要分解（质）因数，能开方的都要开出来，如：√48=√4*12=2√12，这就没有化简彻底。

2， 关于化去根号内的分母

例2，√48-6√(1/3)+√(1/27)

解：原式=√16*3-6√（3/3*3）+√（1*3/9*3*3）

=4√3-2√3+（√3）/9

=（19/9）√3

另解：原式=√16*3-6*（1/√3）+1/√27

=4√3-6*√3/（√3*√3）+√3/（3√3*√3）

=4√3-2√3+√3/9

=（19/9）/√3。

这里应用分数的基本性质把不能开方的分母变成能开方的数或把分母上的根号化去，可注意√(1/a)=√a/a(a>0)应用。

3， 关于化去分母上的根号：

例3， 化简（√12+√27）/√3.

解：原式=（2√3+3√3）/√3=5√3/√3=5。

另解：原式=√12/√3+√27/√3

=√（12/3）+√（27/3）

=√4+√9

=5.

例4， 化简：√3/√8

解：√3/√8=√3/2√2=（√3*√2）/（2√2*√2）=√6/4

另解：√3/√8=√（3/8）=√（3*2）/（8*2）=√6/16=√6/√16=√6/4。

例3是利用约分约去了根号，例4是利用分数基本性质和化简带根号实数的公式。

例5， 化简：1/（√3-√2）

解：原式=（√3+√2）/[（√3-√2）（√3+√2）]

=（√3+√2）/（3-2）

=√3+√2.

此题利用平方差公式和分数基本性质化去了分母上的根号.

4， 综合性应用

（1），利用√a≥0及a≥0解题。

例6，已知√(x+5)+√(y+3)=0,求x-y.

解：∵√（x+5）≥0,√(y+3)≥0且√(x+5)+√(y+3)=0

∴x+5=0,y+3=0

∴x=5,y=3.

∴x-y=-5-(-3)=-2.

例7，已知 y=√(x-2)+√(2-x)+4

求xy.

解：∵x-2≥0,2-x≥0 ∴x=2

y=4

∴xy=8.

说明：例5是利用算术平方根的非负性，例7是利用其被开方数的非负性。

（2），综合（灵活）性应用

例8，化简：（√6+4√3+3√2）/[（√6+√3）（√3+√2）]

解：原式=[（√6+√3）+3（√3+√2）/[（√6+√3）（√3+√2）

=1/（√3+√2）+3/（√6+√3）

=√3-√2+√6-√3

=√6-√3.

例9，化简：（8+2√15-√10-√6）/（√5+√3-√2）

解：原式=[5+2√15+3-√2（√5+√3）]/（√5+√3-√2）

=[（√5+√3）-√2（√5+√3）]/（√5+√3-√2）

=[（√5+√3）（√5+√3-√2）]/（√5+√3-√2）

=√3+√3.

例8、例9是综合应用分数性质，灵活应用乘法公式和分配律（逆用）来化简较复杂的带根号的问题。