1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n^2+
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。解题过程如下:
解:因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
则(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
............
3^3-2^3=3*2^3+3*2+1
2^3-1^3=3*1^3+3*1+1
把等式两边同时求和得,
(n+1)^3-1^3
=(3n^2+3(n-1)^2+......+3*2^2+3*1^2)+(3n+3(n-1)+......+3*2+3*1)+n
=3(n^2+(n-1)^2+......+2^2+1^2)+3(n+(n-1)+......+2+1)+n
=3(n^2+(n-1)^2+......+2^2+1^2)+3*n(n+1)/2+n
即,n^3+3n^2+3n=3(n^2+(n-1)^2+......+2^2+1^2)+3*n(n+1)/2+n
整理得,n^2+(n-1)^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6
即,1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料:
数列求和的方法
1、公式法
(1)等差数列求和公式:Sn=1/2*n(a1+an)=d/2*n+(a1-d/2)*n
(2)等比数列求和公式:Sn=na1(q=1)、Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)(q≠1)
(3)自然数求和公式:(1+2+3+...+n)=n(n+1)/2
2、错位相减法
3、倒序相加法
4、分组法
5、裂项相消法
(1)1/(n*(n+1))=1/n-1/(n+1)
(2)1/((2n-1)*(2n+1))=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
参考资料来源:百度百科-数列求和
参考资料来源:百度百科-平方和公式
2024-12-18 广告
则(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
............
3^3-2^3=3*2^3+3*2+1
2^3-1^3=3*1^3+3*1+1
把等式两边同时求和得,
(n+1)^3-1^3
=(3n^2+3(n-1)^2+......+3*2^2+3*1^2)+(3n+3(n-1)+......+3*2+3*1)+n
=3(n^2+(n-1)^2+......+2^2+1^2)+3(n+(n-1)+......+2+1)+n
=3(n^2+(n-1)^2+......+2^2+1^2)+3*n(n+1)/2+n
即,n^3+3n^2+3n=3(n^2+(n-1)^2+......+2^2+1^2)+3*n(n+1)/2+n
整理得,n^2+(n-1)^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6
即,1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6