不定积分的换元法与定积分的换元法有什么区别?

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不定积分的换元法与定积分的换元法只有一个区别:不定积分的换元法最后必须换回原来的变量,而定积分代换时上下限要做相应的变化,最后不必换回原来的变量。

不定积分换元法的解题方法:

令g为一个可导函数且函数f为函数F的导数, 

则∫f(g(x))g'(x)=F(g(x))+C.令u=g(x),因此du=g'(x)dx, 

则∫f(g(x))g'(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F(g(x))+C。

所谓换元,就是本来是对x求积分,现在将积分变量改为了u=g(x).

定积分换元法:

设函数f(x)在区间[a,b]上连续;函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数;当t在区间[m,n]上变化时,x=g(t)的值在[a,b]上变化,且g(m)=a,g(n)=b;则有定积分的换元公式:

扩展资料

除了不定积分的换元法与定积分的换元法以外的求解方法:

设函数和u,v具有连续导数,则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu

两边积分,得分部积分公式

∫udv=uv-∫vdu。 ⑴

称公式⑴为分部积分公式.如果积分∫vdu易于求出,则左端积分式随之得到.

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v

一般来说,u,v 选取的原则是:

1、积分容易者选为v,2、求导简单者选为u。

例子:∫Inxdx中应设U=Inx,V=x

分部积分法的实质是:将所求积分化为两个积分之差,积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式(即多项式)和分式(即两个多项式的商),分式分为真分式和假分式,而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和.可见问题转化为计算真分式的积分.

可以证明,任何真分式总能分解为部分分式之和。

参考资料来源:百度百科-不定积分

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