Question

如何利用对数和指数函数比大小？

Answer 1

答：对数函数比大小和指数函数比大小的方法如下：
　　【对数比大小】
　　对数的比较主要就是结合图像和利用换底公式。
　　一、底数相同。
　　1：底数a>1时，比较真数，真数大的对数大。
　　2：底数0<a<1时，比较真数，真数大的对数小。
　　二、底数不相同，真数不相同时。
　　这种情况下通常采用换底公式，化为相同底数进行比较。
　　如果不容易化为同一底数，通常有一定技巧。
　　三、底数不相同，真数相同。
　　1：底数a>1时，比较底数，底数大的对数小。
　　2：底数0<a<1时，比较底数，底数大的对数大。
　　【指数函数比大小】
　　指数函数比大小常用方法：
　　（1）比差（商）法；
　　（2）函数单调性法；
　　（3）中间值法；
　　要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小‘
　　比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意：
　　（1）对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。
　　（2）对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
　　（3）对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较.如：
　　对于三个（或三个以上）的数的大小比较,则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组,再比较各组数的大小即可.
　　在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小）,就可以快速的得到答案.那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”.即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如：a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0）时,a^x大于1,异向时a^x小于1.。