Question

已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A,B是圆上两动点，且满足角APB＝90度.求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

Answer 1

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=根号(x-4)2+y2
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=(x+4)/2 , y1=(y+0)/2

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

((x+4)/2)2+(y/2)2-4*(x+4)/2－10=0

整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程

Answer 2

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|= ，所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1= ,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得 －10=0
整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.