Question

②r-ydr+(x+sin²y)dy,其中L是在圆周y=√2x-x上由点(0,0)到(1,1)？

Answer 1

首先，对于二元函数f(x,y)而言，其从点A到点B的线积分可以表示为：∫AB f(x,y)dl，其中dl为线元素。

在本题中，线元素dl可以表示为：dl = dy，因为积分路径限定为圆周y =√2x-x，且在该圆周上，x为常数。

故有：L = ∫AB f(x,y)dl = ∫01 [r(√2x-x) - ydr + (x + sin²y) dy]，其中积分下限为0，上限为1。

对于第一项r(√2x-x)，我们可以将x表示为y²+2y的形式，故有：

r(√2x-x) = r(√2y² + y²) = r(3y²) = 3ry²

因此，根据 dl = dy，可以将L化简为：

L = ∫01 [3ry² - ydr + (x + sin²y) dy] = ∫01 [3ry² - ydr + (y² + sin²y) dy]

接下来就需要确定y的范围，并根据参数方程计算r和dr。

由题可知，积分路径限定在圆周y =√2x-x上，因此，y的范围应该为0到1。

对于r和dr，由题中没有给出明确的参数方程，因此需要从题意出发自行推导。我们可以发现，该圆周的标准方程为x² + y² = 2x，即(x-1)² + y² = 1，因此可以取参数：

x = 1 + cosθ
y = sinθ

代入得到r和dr的表达式：

r = √(x² + y²) = √(2 + 2cosθ)
dr = √(x'² + y'²)dθ = √sin²θ + cos²θ dθ = dθ

将上述的r和dr代入到L的式子中，得到：

L = ∫01 [3r(sinθ)² - (sinθ) dθ + (sin²θ + sin²(sinθ)) dθ]

对于第一项和第三项，我们可以使用三角恒等式进行化简，得到：

3r(sinθ)² + sin²θ + sin²(sinθ) = 3 - 3cosθ + cos²θ + 2sin²θ

因此，可以将L进一步简化为：

L = ∫01 [3 - 3cosθ + cos²θ + 2sin²θ - sinθ] dθ

对于上述式子，我们可以通过换元法求解，令：

u = sinθ/2，则：

sinθ = 2u，cosθ = 1 - 2u²，dθ = 2cosθ du

代入式子得到：

L = ∫00 [12u² - 4u^3 - 4u^4 + 4u] du

积分后得到：

L = [3u^3 - u^4 - (4/5)u^5 + 2u^2]₀¹ = 7/10

因此，从点(0,0)到点(1,1)的路径长度L就等于7/10。