Question

I=0(x+1)(y+1)dV,-|||-:x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^21.

第四题，三重积分应该怎么积

Answer 1

作变换x=arsinucosw,y=brsinusinw,z=crcosu,
则dv=abcr^2*sinudrdudw,0≤u≤π，0≤w≤2π，0≤r≤1,
I=∫<0,π>du∫<0,2π>dw∫<0,1>abcr^2*sinu(arsinucosw+1)(brsinusinw+1)dr
=abc∫<0,π>sinudu∫<0,2π>dw∫<0,1>[(1/2)abr^4*sin^usin2w+r^3*sinu(acosw+bsinw)+r^2]dr
=abc∫<0,π>sinudu∫<0,2π>[(ab/10)sin^usin2w+(1/4)sinu(acosw+bsinw)+1/3]dw
=2πabc/3∫<0,π>sinudu
=4πabc/3.