Question

12个数字取6个为一组，要求每组有2个或2个以上数字不同，可以有几组？

Answer 1

这是一个组合问题，要求从12个数字中取出6个数字，使得每组有2个或2个以上数字不同。我们可以分别计算出有2个数字不同、3个数字不同、4个数字不同、5个数字不同和6个数字不同的情况下的组合数，然后把它们加起来即可。
有2个数字不同的情况下，可以先选出两个数字，然后把这两个数字分别选2个和4个放置在6个位置上，所以共有$C_{12}^2 \times (C_6^2 \times C_4^4 + C_6^4 \times C_4^2) = 166320$ 种组合。
有3个数字不同的情况下，可以先选出3个数字，然后将这3个数字中的一个选2个，其余选1个，再将这3个数字分别选2个和4个放置在6个位置上，所以共有$C_{12}^3 \times C_3^1 \times C_2^1 \times C_6^2 \times C_4^4 = 1395360$ 种组合。
有4个数字不同的情况下，可以先选出4个数字，然后将这4个数字中的两个选2个，其余选1个，再将这4个数字分别选2个和4个放置在6个位置上，所以共有$C_{12}^4 \times C_4^2 \times C_2^2 \times C_6^2 \times C_4^4 = 1478400$ 种组合。
有5个数字不同的情况下，可以先选出5个数字，然后将其中一个数字选2个，其余选1个，再将这5个数字分别选2个和4个放置在6个位置上，所以共有$C_{12}^5 \times C_5^1 \times C_2^1 \times C_6^2 \times C_4^4 = 3326400$ 种组合。
有6个数字不同的情况下，可以直接从12个数字中选出6个数字，然后将这6个数字分别选2个和4个放置在6个位置上，所以共有$C_{12}^6 \times C_6^2 \times C_4^4 = 924000$ 种组合。
将这些情况下的组合数加起来，即得到总的组合数：$166320 + 1395360 + 1478400 + 3326400 + 924000 = 7375480$。
因此，可以组成7375480组符合要求的6个数字的组合。