Question

A为n阶实对称矩阵且A的各阶顺序主子式均大于零，证明：A为正定矩阵。

Answer 1

【答案】：可以证明： A是n阶实对称矩阵, 则存在正交矩阵P, P'=P^-1
满足: P'AP = diag(a1,a2,...,an). 其中a1,a2,...,an是A的全部特征值
则A对应的二次型为:
f = X'AX
令 X=PY 得
f = Y'P' APY = Y'diag(a1,a2,...,an)Y = a1y1^shu2+...+any^n
所以 A正定 <=> f 正定 <=> ai>0.
即 A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值都大于0.
当A的特征值都大于0，实对称矩阵A必相似于以特征值为对角的矩阵，此时顺序主子式均大于0，所以当A为n阶实对称矩阵且A的各阶顺序主子式均大于零，A为正定矩阵。