Question

第五章 空间任意力系 空间力系分为

Answer 1

第五章 空间任意力系

习 题

5.1 托架A 套在转轴z 上，在点C 作用一力F = 2000 N 。图中点C 在Oxy 平面内，尺寸如图所示，试求力F 对x ，y ，z 轴之矩。

F z F x

F F xy

F y

题5.1图

解：F x =F cos45 sin60 =1.22KN

F y =F cos45 cos60 =0.7KN F z =F sin 45 =1.4KN M x =F z 60mm =84.85KN ⋅mm

M y =F z 50mm =70.71KN ⋅mm M z =F x 60mm +F y 50mm =108.84KN ⋅mm

5.2 正方体的边长为a ，在其顶角A 和B 处分别作用着力F 1和F 2，如图所示。求此两力在轴x ，y ，z

上的投影和对轴x ，y ，z 的矩。

题5.2图

解：F x =F 2sin α-F 1cos βsin α

F y =-F 1cos βcos α F z =F 1sin β+F 2cos α

M x =F z a =aF 1sin β+aF 2cos α

M y =aF 1sin β

M z =F y a -F x a =-aF 1cos βcos α-aF

2sin α-aF 1cos βsin α

5.3 如图所示正方体的表面ABFE 内作用一力偶，其矩M = 50 kN·m ，转向如图。又沿GA

、BH 作用两力F 、F ′，F = F′，a = 1 m。试求该力系向C 点的简化结果。

解：两力F 、F ′能形成力矩M 1

M 1=Fa =⋅m M 1x =M 1cos45

M 1y =0 M 1z =M 1sin 45

M x =M 1cos45

=50KN

⋅m

M z =M 1z +M =M 1sin 45 +50=100KN ⋅m

M C =

=⋅m

α=63.4 β=90 γ=26. 5 6

5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m

，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N，F 2 = 4 N，F 3 = 3 N；M 1 = 4 N·m ，M 2 = 2 N·m ，求力系向O 点简化所得的主矢F R " 和主矩M O 。

题5.4图

" 解：F R =F 1+F 2-F 3=6N

方向为Z 轴正方向

M x =M 2+2F

1+2F 2-4F 3=8N ⋅m

M y =M 1-3F 1-F 2+F 3=-12N ⋅m

M O ==14.42N ⋅m

α=56.63

β=-33.9 γ=90

5.5 如图所示圆柱重W =10kN，用电机链条传动而匀速提升。链条两边都和水平方向成300角。已知鼓轮半径r =10cm ，链轮半径r 1=20cm ，链条主动边（紧边）的拉力T 1大小是从动边（松边）拉力T 2大小的两倍。若不计其余物体重量，求向心轴承A 和B 的约束力和链的拉力大小（图中长度单位cm ）。

F Bz

F Az

F Bx

F Ax

W

题5.5图

解：

∑X =0, F ∑Z =0, F ∑M ∑M

z

+F +T cos30+T cos30=0 Ax Bx 12

Az

+F Bz -T 2sin30 +T 1sin30 -W =0

=0, -60T 1cos30 -60T 2cos30 -100F Bx =0

M =0, -30W +60T sin30-60T sin30+100F Bz =0 ∑x 12

y

=0, Wr +T 2r 1-T 1r 1=0

F Ax =-20.78KN , F Az =13KN F Bx =7.79KN , F Bz =4.5KN T 1=10KN , T 2=5KN

5.6 如图所示均质矩形板ABCD 重为W = 200 N，用球铰链A 和蝶形铰链B

固定在墙上，并用绳索CE 维持在水平位置。试求绳索所受张力及支座A ，B 处的约束力。

解：取长方形板ABCD 为研究对象，受力如图所示重力W 作用于板的型心上。选坐标系Axyz ，设AD 长

题5.6图

2a ，AB 长为2b ，列出平衡方程并求解

F Bz =0

F Az =100N

5.7 如图所示，水平轴上装有两个凸轮，凸轮上分别作用已知力F 1=800N和未知力F 。如轴平衡，求力F 和轴承约束力的大小。

y

x

题5.7图

解：

∑X =

0, F ∑Z =0, F ∑M

z

Ax

+

F

Bx +F

1=0

Az

+F Bz +F =0

=0, -140F 1-100F Bx =0

∑M ∑M

y

=0,20F 1-20F =0 =0,40F +100F Bz =0

x

F Ax =320N , F Az =-480N F Bx =-1120N , F Bz =-320N

F =800N

5.8

扒杆如图所示，立柱 AB 用 BG 和 BH 两根缆风绳拉住，并在 A 点用球铰约束，A 、H 、G 三点位于Oxy 平面内，G 、H 两点的位置对称于y 轴，臂杆的D 端吊悬的重物重W = 20 kN；求两绳的拉力和支座A 的约束反力。

题5.8图

解：G 、H 两点的位置对称于y 轴

F BG =F BH

∑X =0, -F ∑Y =0, -F ∑Z =0, F ∑M

x

Az

BG

sin45 cos60 +F BH sin45 cos60 +F Ax =0 cos45 cos60 -F BH cos45 cos60 +F Ay =0

BG

-F BG sin60 -F BH sin60 -W =0

=0,5F BG sin45 cos60 +5F BH sin45 cos60 -5W =0

F BG =F BH =28.28KN , F Ax =0, F Ay =20KN , F Az =68.99KN

5.9 如图所示，

一重量W = 1000N的均质薄板用止推轴承A 、B 和绳索CE 支持在水平面上，可以绕水平轴AB 转动，今在板上作用一力偶，其力偶矩为M ，并设薄板平衡。已知a = 3 m，b = 4 m，h = 5 m，M = 2000 N·m ，试求绳子的拉力和轴承

A 、B 的约束力。

5.10 如图所示作用在踏板上的铅垂力F 1使得位于铅垂位置的连杆上产生的拉力F = 400 N，

α=30o ，a = 60 mm，b = 100 mm，c = 120 mm。求轴承A 、B 处的约束力和主动力F 1。

题5.10图

解：

∑Y =0, F ∑M ∑M ∑M

By

+F Ay =0 +F Bz -F -F 1=0

∑Z =0, F

x

Az

=0,2bF 1-cF cos α=0 =0, aF -bF Bz +bF Az =0 =0, bF By -bF Ay =0

y

z

F Ay =F By =0，F Az =423.92N ， F Bz =183.92N F 1=207.84N

5.11 如图所示为一均质薄板，其尺寸单位为mm 并标示于图中，求该薄板的重心。

x

题 5.11图

解：三角形OAB 的中心为：(15,6.67)

A 1=300mm 2

小圆重心为：(6,6)

A 2=16π

该薄板的重心：

x =

x 1A 1-x 2A 2

=16.8

A 1-A 2

y =

y 1A 1-y 2A 2

=-0.4

A 1-A 2

5.12 如图所示，从 R = 120 mm的均质圆板中挖去一个等腰三角形。求板的重心位置。

x

题5.12图

解：圆重心：(0,0)

A 1=14400πmm 2

三角形重心：(0,30)

A 2=8100mm 2

板的重心位置：

x =

x 1A 1-x 2A 2

=0

A 1-A 2

y 1A 1-y 2A 2

y ==-6.54

A 1-A 2

5.13 试求图所示均质板OABCD 的重心位置（图中尺寸的单位为mm ）。

x

题5.13图

题5.14图

2

解：I部分重心：(45,20) A 1=2700mm

∏部分重心：(105,20) A 2=900mm 2

I∏部分重心：(60, -20) A 3=4800mm 2

均质板OABCD 的重心：

x =

x 1A 1+x 2A 2+x 3A 3

=60mm

A 1+A 2+A 3

y 1A 1+y 2A 2+y 3A 3

y ==-2.86mm

A 1+A 2+A 3

5.14 试求图所示均质等厚板的重心位置（图中尺寸的单位为mm ）。

解：I部分重心：(45,60), A 1=10800mm 2

∏部分重心：(73,60), A 22=800πmm I∏部分重心：(45, -20), A 3=2700mm 2

均质等厚板的重心： x 1A 1+x 2A 2+x 3A 3

x =

A A =49.4mm

1+2+A 3

y =

y 1A 1+y 2A 2+y 3A 3

A +A =46.5mm

12+A 3

x