Question

如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥AC，AB=2√3

如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥AC，AB=2√3

①若∠ABC=30°，CD=√3AD，求BD的长
②若AC=2，∠ADB=30°，求sin∠CAD的值

Answer 1

（1）、因为AB⊥AC，∠ABC=30°，AB=2√3，易知AC=2，BC=4，

因为在AD⊥CD，在直角△ACD中CD=(√3)AD，所以∠ACD=30°，CD=√3，

则∠BCD=90°，在直角△BCD中由勾股定理可算得BD=√19。

（2）、如图所示，过点B作BE⊥DA，垂足E在DA的延长线上。

因为AD⊥CD，AB⊥AC，BE⊥DA，易证△CAD∽△BAE，

有CD：AE=AD：BE=AC：AB=2：2√3=1：√3，即(√3)CD=AE，(√3)AD=BE，

又因为在直角△BDE中∠ADB=30°，有DE=(√3)BE，

所以DE=AD+AE=AD+(√3)CD=3AD，化简得AD=(√3)CD/2，

在直角△ACD中由勾股定理有AD²+CD²=AC²，即[(√3)CD/2]²+CD²=4，

解得CD=(4√7)/7，所以sin∠CAD=CD/AC=[(4√7)/7]/2=(2√7)/7。