Question

己知X≥0，y≥0，且X十y=1，则X平方十y平方的取值范围

Answer 1

满足 x≥0，y≥0，x＋y＝1 的点 (x，y) 是一条线段，两个端点分别是 (0，1)、(1，0)，
x²＋y² 表示线段上的点到原点距离的平方，
由图知，当 x＝y＝1/2 时，x²＋y² 值最小为 1/2，
当 x＝0，y＝1 或 x＝1，y＝0 时，x²＋y² 值最大为 1，
所求取值范围是 [1/2，1]。

Answer 2

X≥0，y≥0，且X十y=1,
所以x<=1,y=1-x,
x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1=2(x-1/2)^2+1/2,
所以它的取值范围是[1/2,1].

Answer 3

(x+y)²= x²+y²+2xy=1
x²+y²=1-2xy
因为x≥0，y≥0，x+y=1，x=1-y，x≤1，y≤1,
x²+y²=1-2y(1-y)=1-2y+2y²=2( y-1/2)²+1/2
1/2/2≤x²+y²≤1

Answer 4

供参考，请笑纳。