Question

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：若存在非零常数k，在定义域内等式f(kx)=k/2 +f(x)恒成立。

（1） 判断一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合M；
（2） 证明f(x)=log2 x属于M，并找到一个常数k。

Answer 1

解：由题意，
(1)不属于。理由是：
假设存在符合条件的非零常数k，则
对任意x∈R，等式g（kx）=k/2+g（x）成立。
g（kx）=a（kx）+b，
g（kx）=k/2+g（x）=ax+b+k/2，所以有
a（kx）+b=ax+b+k/2。
因为x∈R，所以取x=0，则b=b+k/2，
解得k=0，与题设矛盾，所以不存在符合条件的非零常数k，
所以一次函数g（x）=ax+b（a≠0）不属于集合M。
问题（2）
1）首先，由于h(x)与y=x有交点，故方程x=a^x总有非负解。

2）其次，由于h(kx)=log(k)+log(x)(以a为底）＝log(k)+h(x),至此，问题等价于证明方程k=a^(k/2)＝（sqrt(a))^k(关于k的方程)有非负解。由于1),易知k=a^(k/2)关于k总有非负解（只需注意a>a^(1/2)，利用对数曲线的几何性质即知），所以h(x)属于函数类M.

Answer 2

解：（1）假设g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=k 2 +g（x）
⇒a（kx）+b=k 2 +（ax+b）
⇒k=ax ax-1 2 ⇒k的取值与x有关，不是常数，与假设矛盾
⇒g（x）不属于集合M
（2）log2（kx）=k 2 +log2x
⇒log2k+log2x=k 2 +log2x
⇒log2k=k 2 ，
当k=4时此式成立，
可见，存在非零常数k=4，使g（kx）=k 2 +g（x）
∴g（x）∈M，
故答案为：f（x）∉M，g（x）∈M．