Question

二重积分的定积分怎么求？

Answer 1

跟定积分原理一样
在[-a,a]上
若f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)
∫(-a,a) f(x) dx，令x=-u
=∫(a,-a) f(-u)*(-du)
=∫(-a,a) f(-u) du
=∫(-a,a) -f(u) du
=-∫(-a,a) f(x) dx，移项得
∫(-a,a) f(x) dx=0
同理∫(-a,a) f(x) dx = 2∫(0,a) f(x) dx若f(x)为偶函数

至于二重积分
若D关于x轴和y轴都是对称的
而且被积函数是关于x或y是奇函数的话，结果一样是0
例如D为x^2+y^2=1
则x，x^3，xy，xy^3，y^5，x^3y^3等等的结果都是0
不要以为xy和x^3y^3是偶函数，奇偶性是对单一自变量有效的
计算x时把y当作常数，所以对x的积分结果是0时，再没必要对y积分了