Question

问一下，这题定积分怎么解呢？

第一个红框里的1/2是从哪来的呢，第二个红框里的ln（t－1）/ln（t＋1）是怎么逆推到的

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Answer 1

😳问题 : 求∫(ln2->ln3) dx/[e^x -e^(-x)]

什么是不定积分

👉不定积分

• 在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。
  

• 不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
  

1. 『例子一』 2∫ x dx = x^2 +C

2. 『例子二』 ∫ cosx dx = sinx +C
   

3. 『例子三』∫ x^2 dx = (1/3)x^3 + C

👉回答

∫(ln2->ln3) dx/[e^x -e^(-x)]

• 化简

=∫(ln2->ln3) e^x/[e^(2x) -1]  dx

• 利用 de^x = e^x dx

=∫(ln2->ln3) de^x/[e^(2x) -1] 

• partial fraction

=(1/2)∫(ln2->ln3) [1/(e^x) -1）-1/(e^x +1) ]  d(e^x)

=(1/2)[ ln| (e^x-1)/(e^x+1)| ]|(ln2->ln3)

• 带入 积分上下限

=(1/2)[ ln(1/2) - ln1]

=-(1/2)ln2

😄: 结果 ∫(ln2->ln3) dx/[e^x -e^(-x)] =-(1/2)ln2

Answer 2

1/(t^2-1)=1/2 【1/(t-1)- 1/(t+1)】可以使用待定系数发求得
就是设1/(t^2-1)= a/(t-1) +b/(t+1)，然后右侧通分得到左边就可以求出a=b=1/2
至于第二个
因为1/(t-1)的积分=ln(t-1)，1/(t+1)积分=ln(t+1）就得到了，都是基本功