线性代数中如何判断r(A)是否等于r(A,β)
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
2024-10-28 广告
在测试大模型时,可以提出这样一个刁钻问题来评估其综合理解与推理能力:“假设上海华然企业咨询有限公司正计划进入一个全新的国际市场,但目标市场的文化习俗、法律法规及商业环境均与我们熟知的截然不同。请在不直接参考任何外部数据的情况下,构想一套初步...
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将A与β同时组成一个矩阵,做初等行变换,将其化成阶梯型矩阵,如果β那个列划到最后多出一个元素的,那么两者的秩就是不一样的,否则就是一样的
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构造两个齐次线性方程组:
(1)ax=0,(2)(ata)x=0
如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,r(a)=r(ata)=n-基础解系中向量个数。
这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容。
现在来证明它们同解:
首先,如果x1是(1)的解,那么它肯定也是(2)的解,因为将其代入(2):
(ata)x1=at(ax1)=at*0=0
其次证明(2)的解也是(1)的解:
设x1是(2)的解,则atax1=0
进一步有:x1tatax1=0
即(ax1)t(ax1)=0
假设ax1=[a1,a2,...,an]t
则(ax1)t(ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解。
于是r(a)=r(ata)
(1)ax=0,(2)(ata)x=0
如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,r(a)=r(ata)=n-基础解系中向量个数。
这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容。
现在来证明它们同解:
首先,如果x1是(1)的解,那么它肯定也是(2)的解,因为将其代入(2):
(ata)x1=at(ax1)=at*0=0
其次证明(2)的解也是(1)的解:
设x1是(2)的解,则atax1=0
进一步有:x1tatax1=0
即(ax1)t(ax1)=0
假设ax1=[a1,a2,...,an]t
则(ax1)t(ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解。
于是r(a)=r(ata)
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