Question

线性代数中如何判断r(A)是否等于r(A,β)

Answer 1

β能否与由αi线性表出，如果是则相等

Answer 2

将A与β同时组成一个矩阵，做初等行变换，将其化成阶梯型矩阵，如果β那个列划到最后多出一个元素的，那么两者的秩就是不一样的，否则就是一样的

Answer 3

构造两个齐次线性方程组：
（1）ax=0,(2)(ata)x=0
如果这两个方程组同解，则两个方程组的系数矩阵有相同的秩，r(a)=r(ata)=n-基础解系中向量个数。
这个很好理解对吧，《线性代数》的基本内容。
现在来证明它们同解：
首先，如果x1是（1）的解，那么它肯定也是（2）的解，因为将其代入（2）：
(ata)x1=at(ax1)=at*0=0
其次证明（2）的解也是（1）的解：
设x1是（2）的解，则atax1=0
进一步有：x1tatax1=0
即(ax1)t(ax1)=0
假设ax1＝[a1,a2,...,an]t
则(ax1)t(ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解。
于是r(a)=r(ata)