Question

高中数学——函数奇偶性

设函数y=f(x)【x属于R，且x不等于0】对任意非零实数x,y，都有f(xy)=f(x)+f(y)成立。
1.求证f（-1）=f(1)=0,且f(1/x)=-f(x)【x不等于0】
2.判断函数的奇偶性
3.若f(x)在区间0到正无穷上单调递增，解不等式f(1/x)-f(2x-1)不小于0

Answer 1

1、f(1*1)=f(1)+f(1) 则f(1)=f(1)+f(1) 所以f（1）=0
f(-1*1)=f(-1)+f(1) 则f(-1)=f(-1)+f(1) 所欲f（-1）=0
当x不等于0时；f(1)=f(1/x*x)=f(1/x)+f(x)=0 所以f(1/x)=-f(x)【x不等于0】
2、因为；f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x) 所以f(-x)=f(-x）所以函数为偶函数
3、f(1/x)-f(2x-1)=>0 且f(x)在区间0到正无穷上单调递增
（1）当 1/x>0,2x-1>0即x>1/2时，1/x>2x-1 所以解得 -1/2 <x<1
所以其解1/2 <x<1。
（2）当1/x<0,2x-1<0即x<0时，因函数为偶函数，f(x)在区间0到正无穷上单调递增。所以函数在负无穷大到0时为单调递减
所以1/x<2x-1; 解得 -1/2 <x<1
所以其解为-1/2 <x<0
所以x的解为：1/2 <x<1或-1/2 <x<0

Answer 2

(1).f(1*-1)=f(-1)=f(1)+f(-1) => f(1)=0
f(-1*-1)=f(1)=f(-1)+f(-1) =>f(-1)=0
x不等于0时
f(x*1/x)=f(1)=0=f(1/x)+f(x) =>f(1/x)=-f(x)
(2).f（-1）=f(1)=0 =>偶函数