Question

如何求出圆周率的近似值？

Answer 1

割圆术求出圆周率方法如下：

从圆内接正六边形开始，如图，逐渐把边数加倍，依次画出内接圆内接正12边形、正24边形、正48边形、正96边形、正192边形……这些多边形的面积会逐渐接近圆的面积。

若记圆内接正2n边形的面积为S2n，则随着n的增大，S2n逐渐逼近圆的圆面积πr²，若r=1，则S2n逐渐逼近π。

如图，圆内接正n边形一边AB记为an，半径OC与AB垂直，则AC、BC为圆内接正2n边形的边，记为a2n，则：

这样得到了边的递推公式，从n=6开始：

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的周长一直算到正3072边形，由此得到圆周率近似为3.1416，这是当时世界上最精确的圆周率。

求圆周率的其他方法：

1、连分数：

使用连分数计算圆周率的人很少，可能是因为计算量大。比如布朗开罗的连分数。

2、级数法：

级数法是通过幂级数的展开，得到关于圆周率的解析式，属于分析法。最早由莱布尼茨得到一个解析式，之后欧拉、马庭等等数学家，获得了大量的该类解析式，其收敛的速度有快与慢。