Question

向量a(-1,2)向量b(3,-1)求向量a在向量b上的投影向量

Answer 1

要求向量 a 在向量 b 上的投影向量，可以按照以下步骤进行：

• 计算向量 b 的单位向量。单位向量是具有相同方向但长度为 1 的向量，可以通过将向量 b 除以其模长来得到：
  b_unit = b / ||b||

其中 ||b|| 表示向量 b 的模长，即 ||b|| = √(b₁² + b₂²)。

在这个例子中，向量 b = (3, -1)，所以 ||b|| = √(3² + (-1)²) = √10。

因此，单位向量 b_unit = (3/√10, -1/√10)。

• 计算向量 a 在向量 b_unit 上的投影长度。投影长度可以通过计算向量 a 与单位向量 b_unit 的点积来得到：
  projection_length = a · b_unit

其中 · 表示点积操作。

在这个例子中，向量 a = (-1, 2)，单位向量 b_unit = (3/√10, -1/√10)。

因此，投影长度 projection_length = (-1, 2) · (3/√10, -1/√10) = (-1)(3/√10) + (2)(-1/√10) = -5/√10。

• 计算向量 a 在向量 b 上的投影向量。投影向量是具有与向量 b 相同方向且长度为投影长度的向量，可以通过将投影长度乘以单位向量 b_unit 得到：
  projection_vector = projection_length * b_unit

在这个例子中，投影长度 projection_length = -5/√10，单位向量 b_unit = (3/√10, -1/√10)。

因此，投影向量 projection_vector = (-5/√10)(3/√10, -1/√10) = (-15/10, 5/10) = (-3/2, 1/2)。

综上所述，向量 a = (-1, 2) 在向量 b = (3, -1) 上的投影向量为 (-3/2, 1/2)。