Question

高数求极值。导数。请问为什么要考查x=6这个点？理由是什么？需要过程

Answer 1

函数连续可微，闭区域，肯定可达最大最小值，稳定点可能是极值，也可能不是，更可能不是最值点，必须比较边界值！具体解法：
x>=0，y>=0
1讨论边界x=0
x=0，f=0
2讨论边界y=0
y=0，f=0
3讨论边界x+y=6
x+y=6，f=-2x^2y=-8*(x/2)*(x/2)*y>=-8[(x/2+x/2+y)/3]^3=-64 且 f<=0(边界是3次函数，用均值不等式或求导，如果是一次，则只需看两个端点值)
f=-64条件：x=4，y=2
4讨论开区域
df=d(4x^2*y)-d(x^3*y)-d(x^2*y^2)
=(8xy-3x^2*y-2xy^2)dx+(4x^2-x^3-2x^2y)dy
8xy-3x^2*y-2xy^2=0，4x^2-x^3-2x^2*y=0
x=0 or y=0已讨论
3x+2y=8，x+2y=4
x=2，y=1
f(2，1)=4
5总结
所以 f(2，1)=4是极大值也是最大值
f(4，2)=-64是最小值但不是极值