Question

高数，帮忙看一下这道题

这个特解该怎么设

Answer 1

求微分方程 y''-2y'+2y=e^x+2x的通解
解：齐次方程y''-2y'+2y=0的特征方程 r²-2r+2=0的根 r₁=1+i；r₂=1-i；
故齐次方程的通解为：y=(e^x)(C₁cosx+C₂sinx)；
设方程y''-2y'+2y=e^x............①的特解为：y₁*=ae^x;
则y₁*'=ae^x; y₁*''=ae^x;
代入①式并消去e^x，得：a-2a+2a=a=1；∴y₁*=e^x;
再设方程 y''-2y'+2y=2x..........②的特解为：y₂*=bx+c；则y₂*'=b；y₂*''=0;
代入②式得：-2b+2(bx+c)=2bx-2b+2c=2x；∴b=1；-2b+2c=-2+2c=0，∴c=1；
故y₂*=x+1；于是原方程的通解为：y=(C₁cosx+C₂sinx+1)(e^x)+x+1；