Question

判断函数在f(x)=x+1/x在(0,+∞)上的单调性并证明。

判断函数在f(x)=x+1/x在(0,+∞)上的单调性并证明。

书上的答案：任取x1,x2∈(0,＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴当x2＞x1≥1时，x1x2-1＞0，然后进行判断。
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1＜0，然后进行判断。
最后得出结论。

我有个不懂的地方：
当x2＞x1≥1时，x1x2-1＞0，然后进行判断。
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1＜0，然后进行判断。
这里面的“当x2＞x1≥1时”和“当0＜x1＜x2＜1时”这两种情况是怎么推出来的？总不能没原因就知道这两种情况吧？如果是根据“x1x2-1＞0”和“x1x2-1＜0”推出来的，帮我写下推的过程，我根据“x1x2-1＞0”和“x1x2-1＜0”推不出来。如果不是根据这个推出来的，那是根据什么推出来的？图像？还是什么？

求高手解答，谢谢。

Answer 1

推导过程
f(x) 求导得 1 - 1/(x^2), 当 x = 正负1 时导数为 0 ,
说明 x = 正负 1 时,f(x) 的单调性可能发生改变

(0, 1] 上 f(x) 的导数小于0 , [1, ∞) 上导数大于0,说明 f(x) 在 (0, 1]上单调递减, [1, ∞) 上单调递增

f(x) 要求 x != 0,所以 f(x)的定义域是 (-∞, 0) 和 (0, ∞)
在 (0, ∞) 上,当 x = 1 时 f(x) 取最小值,为 2
f(x) 求导得 1 - 1/(x^2), 当 x = 正负1 时导数为 0 ,
说明 x = 正负 1 时,f(x) 的单调性可能发生改变

(0, 1] 上 f(x) 的导数小于0 , [1, ∞) 上导数大于0,说明 f(x) 在 (0, 1]上单调递减, [1, ∞) 上单调递增

Answer 2

看的是1/x

当x<1时。1/x变化会很大，大过 x

当x>1时。1/x变化会很小，和x比可以忽略。

y=x 与 y=1/x 的交点在 x=1

Answer 3

http://bbs.zymk.cn/?fromuid=1313846

Answer 4

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