判断函数在f(x)=x+1/x在(0,+∞)上的单调性并证明。 20

判断函数在f(x)=x+1/x在(0,+∞)上的单调性并证明。书上的答案:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-... 判断函数在f(x)=x+1/x在(0,+∞)上的单调性并证明。

书上的答案:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0,
∴当x2>x1≥1时,x1x2-1>0,然后进行判断。
当0<x1<x2<1时,x1x2-1<0,然后进行判断。
最后得出结论。

我有个不懂的地方:
当x2>x1≥1时,x1x2-1>0,然后进行判断。
当0<x1<x2<1时,x1x2-1<0,然后进行判断。
这里面的“当x2>x1≥1时”和“当0<x1<x2<1时”这两种情况是怎么推出来的?总不能没原因就知道这两种情况吧?如果是根据“x1x2-1>0”和“x1x2-1<0”推出来的,帮我写下推的过程,我根据“x1x2-1>0”和“x1x2-1<0”推不出来。如果不是根据这个推出来的,那是根据什么推出来的?图像?还是什么?

求高手解答,谢谢。
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tanton
2010-09-11 · TA获得超过4万个赞
知道大有可为答主
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推导过程
f(x) 求导得 1 - 1/(x^2), 当 x = 正负1 时导数为 0 ,
说明 x = 正负 1 时,f(x) 的单调性可能发生改变

(0, 1] 上 f(x) 的导数小于0 , [1, ∞) 上导数大于0,说明 f(x) 在 (0, 1]上单调递减, [1, ∞) 上单调递增

f(x) 要求 x != 0,所以 f(x)的定义域是 (-∞, 0) 和 (0, ∞)
在 (0, ∞) 上,当 x = 1 时 f(x) 取最小值,为 2
f(x) 求导得 1 - 1/(x^2), 当 x = 正负1 时导数为 0 ,
说明 x = 正负 1 时,f(x) 的单调性可能发生改变

(0, 1] 上 f(x) 的导数小于0 , [1, ∞) 上导数大于0,说明 f(x) 在 (0, 1]上单调递减, [1, ∞) 上单调递增
zhuan家
2010-09-11 · TA获得超过372个赞
知道小有建树答主
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看的是1/x

当x<1时。1/x变化会很大,大过 x

当x>1时。1/x变化会很小,和x比可以忽略。

y=x 与 y=1/x 的交点在 x=1
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匿名用户
2010-09-11
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想方注05
2010-09-11 · TA获得超过196个赞
知道答主
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c
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