Question

一道初3的几何证明题

如图ABCD为正方形，DE平行AC ∠ACE=30° 。求证AE=AF

Answer 1

你好：

经计算，F点是AD与CE的交点，

证明：

容易根据和差关系，得出∠ACE=30°，∠DCE=15°，∠EDC=45°，∠DEC=30°，∠AFE=75°，请楼主自己标出这些度数，以下涉及到角将直接用角度表示，

过E作EH⊥AD于H,设正方形ABCD边长为a,则

DE/sin15°=DC/30°，

HD=EH=DE*sin45°，

得
AE

=√[(AD-HD)²+EH²]

=√{[a-(asin15°cos45°/sin30°)]²+(asin15°sin15°/sin30°)²}

=(√3-1)a,

∵AE/sin30°=AC/sin∠AEF,

∴sin∠AEF

=AC*sin30°/AE

=(√6+√2)/4

∵sin75°

=sin(45°+30°)

=(√6+√2)/4

∴在△AEF中，∠AEF=75°=∠AFE,

∴AE=AF,

得证！

[注]写的计算其实挺多的，我手机UC上的，精简了计算过程，用到了积化和差，

请楼主认真看下！

如有疑问，欢迎再问！

谢谢！

Answer 2

可以根角ACE=30度，可以得到角DCE=15度。根据平行条件可以得到角EDA=45度。所以角CDE=135度。角DEC=30度
设正方形边长为a 在三角形CDE 根据EC/sinEDC=DC/sinCED
可以得到EC=根号2 a等于AC 所以三角形ACE为等腰。角AEC=角CAE=75度（因为脚ACE=30度）角AFE=75度（外角=45度+30度）所以叫AEC=角AFE 于是三角形AEF为等腰
于是AE=AF