Question

齐次方程y'= f(x)=0的两个特解是什么？

Answer 1

对于一个形如 y' = f(x) 的齐次一阶线性微分方程，其中 f(x) 是 x 的任意函数，它的通解可以表示为：
y = C
其中，C 是任意常数。这是因为，当 y' = 0 时，原微分方程变成了 0 = 0，该式恒成立。因此，y 可以是任何常数，也就是 y = C 的形式。
根据这个通解，我们可以得到该微分方程的两个特解：
当 C1 = 0 时，y1 = 0；
当 C2 = 1 时，y2 = 1。
需要注意的是，这里的 y1 和 y2 都是该微分方程的特解，而不是通解。通解是由 y = C 组成的无穷多个解的集合，而特解则是其中任意选择的一个特殊的解。
因此，对于齐次方程 y' = f(x) = 0，它的两个特解分别是 y1 = 0 和 y2 = 1。

Answer 2

非齐次线性微分方程

即y'+f(x)y=g(x)

两个特解y1，y2

即y1'+f(x)y1=g(x)，y2'+f(x)y2=g(x)

二者相减得到

(y1-y2)'+f(x)*(y1-y2)=0

所以y1-y2当然是齐次方程

y'+f(x)*y=0的解

性质

1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。