Question

1/(5-x)的麦克劳林展开式？

Answer 1

1/(5-x)在x=0处展开的麦克劳林展开式为：
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
对于$f(x)=\frac{1}{5-x}$，有：
$f^{(1)}(x)=\frac{1}{(5-x)^2}$
$f^{(2)}(x)=\frac{2}{(5-x)^3}$
$f^{(3)}(x)=\frac{6}{(5-x)^4}$
$f^{(4)}(x)=\frac{24}{(5-x)^5}$
$\dots$
将这些导数代入上述公式，得到：
$\frac{1}{5-x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{5}\cdot\frac{n!}{(x-5)^{n+1}}x^n$
因此，1/(5-x)的麦克劳林展开式为：
$\frac{1}{5-x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{5}\cdot\frac{n!

Answer 2

1/(1-x)=1+x+x²+x³...=Σ(0到∞)x^n，-1<x<1
所以1/(5-x)=1/[5(1-x/5)]=1/5*1/(1-x/5)=1/5*Σ(0到∞)(x/5)^n=Σ(0到∞)x^n/5^(n+1)，-5<x<5