Question

已知函数f(x)=loga(1+x)/(1-x)（a>0,a不等于1） 判断并证明f(x)的单调性

Answer 1

令-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=loga[(1+x1)/(1-x1)]-loga[(1+x2)/(1-x2)]
=loga{[(1+x1)/(1-x1)÷[(1+x2)/(1-x2)]}
=loga[(1+x1)(1-x2)/(1-x1)(1+x2)]
=loga[(1+x1-x2-x1x2)/(1-x1+x2-x1x2)]
x1<x2
所以x1-x2<0<x2-x1
所以0<1+x1-x2-x1x2<1-x1+x2-x1x2
所以0<真数<1

若0<a<1
则logax是减函数
且loga(1)=0
所以loga[(1+x1-x2-x1x2)/(1-x1+x2-x1x2)]>0
即-1<x1<x2<1
f(x1)>f(x2)
所以是减函数

同理
a>1,loga(x)是增函数
则-1<x1<x2<1
f(x1)<f(x2)
所以是增函数

综上
0<a<1,f(x)是减函数
a>1,f(x)是增函数