Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,Sn^2-Sn-1^2=an^3

求证数列{an}为等差数列并求出通项公式。

Answer 1

证：

n≥2时，

Sn²-S(n-1)²=an³
Sn²-(Sn-an)²=an³
Sn²-Sn²+2anSn-an²=an³
2anSn=an³+an²
数列为正项数列，an>0 an≠0，等式两边同除以2an
Sn=an²/2 +an/2
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=an²/2 +an/2 -a(n-1)²/2 -a(n-1)/2
an²-a(n-1)²-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
数列为正项数列，an>0 a(n-1)>0 an+a(n-1)>0，要等式成立，只有
an-a(n-1)=1，为定值。又a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an=1+1×(n-1)=n
n=1时，a1=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=n

Answer 2

2为公比的等比数列，a1=2^(1-2)=2^(-1)=1/，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2^(n-2)
2;2-
[2^(n-1)
-1]/。
2sn
+1=2ⁿ
sn=(2ⁿ
-1)/..。
2s1+1=2a1+1=2(1/，an=sn-s(n-1)=(2ⁿ.+n)-5n
=n(n+1)/-1)/，为定值1.
2s(n+1)=4sn
+1
2s(n+1)+1=4sn
+2
[2s(n+1)+1]/(2sn
+1)=2..;2
n≥2时;2)+1=2，数列{2sn
+1}是以2为首项.
bn=-3+log2(an)=-3+log2[2^(n-2)]=-3+n-2=n-5
tn=b1+b2+;2=2^(n-2)
n=1时.+bn
=(1+2+;2