Question

分段函数的原函数

老师，这个题里面
当x<0时，x被放到上限，也就是上限比下限小了，这样计算出结果不久成了原来结果的相反数了吗？
例如，当x<0是，把x取为-π/2，在[-π/2, 0],对sin2x积分，理论上是负值，可是带入到上题中，就为正值了，所以，上题的当x≤0时，的原函数求得是不是错了？？





Answer 1

注意一个前提，那就是微积分基本公式里面，那个原函数中的x只能在上限。

积分中，如果x小于下限，交换积分上下限后，积分值固然要变为相反数，但同时x也到了下限，

求导后，会有负负得正的效果，下面是一个总体的公式，你应该从中得到收获。

追问

当把x≤0那个分段中的x取为-π/2时，意思就是sin2x在[-π/2 0]上积分吧？为什么我们把-π/2带入第一个分段函数求出值为1，而用通过画图利用几何意义却得到[-π/2 0]上对sin2x积分的值为-1,两者都是表达sin2x在[-π/2 0]上积分，不是应该相等吗？

追答

定积分的积分区间只在定积分的定义这一节里面有用，自从进入第二节以后，有一个规定，就是a＞b时，从a到b的定积分等于从b到a定积分的相反数

所以你也要抛弃区间上的定积分这一错误认识，而应该把定积分看做从下限到上限的积分