Question

设向量组α1,α2,…,αn线性无关，向量组β，α1,α2,…,αn线性相关β，α1,α2,…,α

设向量组α1,α2,…,αn线性无关，向量组β，α1,α2,…,αn线性相关β，α1,α2,…,αn证明有且仅有一个向量αi可由其前面表出

Answer 1

β能用ai唯一表示，写出用ai表示的β向量，该表达式唯一。而β没有ai分量时，用ai表示的β向量的ai系数为0，ai不能用其他向量表示；而β有ai分量时，用ai表示β向量的ai系数不为0，等式两边除以该系数，表达式唯一，即可证明ai可有其他向量唯一表示。（线性无关已经排除了零向量，零向量和任何向量线性相关）

追问

文不对题

Answer 2

由于向量组α1,α2,…,αn线性无关，故k1α1+k2α2+...+knαn=0,则k1=k2=......=kn=0,
又因为β，α1,α2,…,αn线性相关，有kβ+r1α1+r2α2+......+rnαn=0,且k不等于0.
（若k=0,与，α1,α2,…,αn线性相关矛盾.).所以β=(-r1/k)α1+(-r2/k)α2+......+(-rn/k)αn.(*1)
接下来进行唯一性证明：
假设β还有另外的表示：即β=l1α1+l2α2+......+lnαn.(*2)
对比(*1)，(*2)。易得，(-r1/k)α1+(-r2/k)α2+......+(-rn/k)αn=l1α1+l2α2+......+lnαn。
即（l1+r1/k)α1+(l2+r2/k2)α2+......+(ln+rn/kn)=0.又向量组α1,α2,…,αn线性无关，
所以l1=-r1/k,l2=-r2/k,......,ln=-rn/k.即表示唯一。β即为αi。
证毕。

Answer 3

是不是漏掉了什么条件？β是零向量怎么办呀？