Question

通过圆锥曲线弦的中点得到弦的斜率的推导过程是什么？

Answer 1

中点弦斜率公式的应用逯宏伟（陕西省户县一中710300）解析几何中，与圆锥曲线的弦有关的问题较多，如何能快速、简捷地解这类问题？本文将用“圆锥曲线的中点弦斜率公式”给出一个统一解法，现介绍如下：设圆锥曲线C：Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0的弦MN的中点为P，其中M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），且x1≠x2，则Ax21＋Cy21＋Dx1＋Ey1＋F＝0，①Ax22＋Cy22＋Dx2＋Ey2＋F＝0．②①－②得A（x21－x22）＋C（y21－y22）＋D（x1－x2）＋E（y1－y2）＝0．③给③式的两边同除以（x1－x2），并以2x0代换（x1＋x2），2y0代换（y1＋y2），即得k＝－2Ax0＋D2Cy0＋E．此公式即为圆锥曲线的中点弦斜率公式．即用弦MN的中点坐标（x0，y0）来表示它的斜率k．此公式在解决圆锥曲线中有关对称、轨迹、证明等问题时简捷、快速，能起到事半功倍的效果．请看几例：例1已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于P（x0，0）点．证明：－a2