Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为e=2根号3/3，过A(a

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为e=2根号3/3，过A(a,0),B(0,-b)的直线到原点距离为根号3/2
（1）求双曲线的方程 （答案x^2/3-y^2=1）
2、直线y=kx+m(k不等于0，m不等于0)，与该双曲线交于不同的两点c、d,且c、d两点都在以A为圆心的同一个圆上,求m的取值范围

Answer 1

（1）由题意可得：e＝c/a=2√3 /3
∴(a^2+b^2)/a^2 =4/3 ① 设直线方程为x/a -y/b=1,原点到直线的距离为√3 /2
则(ab)/√(x^2 +b^2)=√3 /2 ②
∴(a^2 ·b^2)/(x^2 +b^2)=3/4
由①②得 a=√3,b=1
∴双曲线的方程为：x^2/3-y^2=1.

（2）设C (x1,y1), D(x2,y2)
联立y＝kx+m和x^2/3-y^2=1
消去y整理可得（1-3k^2)x^2-6kmx-3m^2-3=0
∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D
∴△=（-6km)^2-4(1-3k^2)(-3m^2-3）＞0，即m^2+1＞3k^2，③
∵C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，
∴|CA|=|DA|
√[(x1)^2 +(1+y1)^2] =√[(x2)^2 +(1+y2)^2]
∵y1=kx1+m，y2=kx2+m
∴（1+k^2）（x1+x2）+2k（m+1）=0
∵x1+x2=6km/(1-3k^2)
∴（1+k^2) ·6km/(1-3k^2)+2k（m+1）=0
∴4m+1-3k2=0
∵m^2 +1＞3k^2＞0
∴m^2 +1＞4m+1＞0

∴-1/4＜m＜0或m＞4