Question

如何运用积分因子求微分方程的通解 ，其中微分因子该如何找。例如'这道题

Answer 1

对于一些简单的形式，比如出现ud-vdu的结构，可选择1/u^2，1/v^2，1/(uv)，1/(u^2+v^2)等作为积分因子。更一般的形式，需要把整个微分式子拆开，重新组合，寻找规律。
比如本题，把左边的微分法拆开，有四项，xy^2dx+dy-3y^2dx-3xy^2dy，其中的后两项-3y^2dx-3xy^2dy=-3y^2d(xy)，要让xy^2dx，dy，-3y^2d(xy)都变成全微分的形式，对于xy^2dx来说，把所有的y^2消去y^2即可，对于dy来说，积分因子只能与y有关，对于-3y^2d(xy)来说，要能去掉前面的y^2，所以以1/y^2为积分因子，可满足每一项的要求。